关于文明的成长，英国历史学家阿诺德·汤因比是这么告诉我们的：

 

　　“如果说自决是成长的标准，自决的意思是自省，那我们就可以分析各个文明实际上赖以成长的进程，条件是我们需要研究一下各个文明不断认识自己的途径。….一个社会是交流的中介，人类通过它来互相作用，正是许多个人而不是各个社会在‘创造’着历史。”（注二）

 

　　古希腊之所以能产生辉煌的文明，（其间的哲学家几乎都是数学家）从泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德到苏格拉底、柏拉图、亚里斯多德以及无法罗列的长长的哲人名单，除了能解释的独特的地理位置（众多岛屿，面向大海，独立的城邦和开放的贸易等等）和民主制度外，还有令人羡慕的上天眷顾。正是城邦民主制度才能让“许多个人”得以自由行动和心灵自决。我们不在这里讨论产生古希腊文明的原因，我们要讨论的是，古希腊文明的一个分支，几何学 --- 一个对自由和普遍性原则追求的科学---对西方文明产生了什么影响。

 

　　事实上，演绎推理早在公元前6世纪在埃及和希腊就已经开始盛行， 泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德以及其他许多该时期（从泰勒斯到欧几里得，大约经过了300多年）的数学家只是对前人的成就做出整理，将之系统化和专业化，而其中尤以欧几里德的《几何原本》（ELEMENT）最为出色最为完整，影响也最为深远，直至今日。从流传下来的13卷《几何原本》看，欧几里德运用所谓不证自明的23个定义，5个公设和5个定理，将几何创造性地从技术层面上升到科学，而他所使用的工具则是逻辑演绎。（注三） 一条公理与另一条公理相连，一个命题又带出另外一个命题，欧几里德用严谨的逻辑构织了几何学网络，而且后人可以从他的网络出发，不断地去证明，去创造新的命题。可以说，数学成为一门科学自欧几里得始。

 

　　那么他是如何做到呢？

 

　　欧几里德从不证自明的常识开始构造他的几何学：

 

　　对概念的定义：1，点是没有部分的；2，线只有长度没有宽度；3，一线的两端是点；….如此等等。

 

　　5条公设：1，从任一点到任一点可作直线；2，线段可以任意延长；3，以任意一点为中心，任一距离为半径可以作一圆；…如此等等。

 

　　5条公理是关于量的规定：1，等于同量的量彼此相等；2，等量加等量总量仍相等；3，等量减等量，余量仍相等；…如此等等。

 

　　欧几里德正是从这些一望而知的公理公设出发，运用人类大脑中天赋的演绎推理能力，来建立人类历史上第一座数学大厦。欧几里德通过他的几何学告诉我们，点、线、面、体是物理世界存在的本质。他没有直接说出来的是，只要前提正确，演绎逻辑可以还我们一个全新的世界。

 

　　显然，逻辑不仅仅是一种思维方式，还是发现新世界的方式。这种方式只依赖人类的理性，而不是外在的权威，来寻求普遍性。

 

　　倘若连运用逻辑的权利也被剥夺，人民失去了自决的能力，那么自由思想便彻底失去了机会，科学当然无从建立。

 

　　而在这里，我们要说的是另外一种可怕的权威，一种来自人类自身的盲目信仰。人们往往把外在的权威理解为政治上的权力高压。殊不知，当人类过于相信某种知识权威时，比如欧几里德的公设，那么理性就可能走向反面，成为自己的敌人。欧几里德的第五公设引出的历史性探索值得我们深思。

 

　　第五公设是这样表述的：

 

　　如果任一直线与另两直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则这两直线无限延长必在这一侧相交。

 

　　第一个试图证明这一公设的是一个叫克劳迪亚斯·托勒密的希腊数学家，他生于大约在公元200年间。300年后，另一个数学家，普罗克罗斯发现了托勒密的错误，做出了自以为正确的证明。以后还有不计其数的数学家为此付出了艰苦的努力，但都没有成功。他们对欧几里德几何学的信仰，使他们无法寻求其他可能性。直到公元5世纪，苏格兰人约翰.普雷菲尔建立了一个替代公理：“通过一条已知直线外的一个给定的点，有且只有一条直线平行于已知直线”。这条被称为“普雷菲尔公理”启发了18世纪的德国数学家高斯、19世纪的匈牙利数学家波约伊、俄国数学家罗巴切夫斯基这些伟大的数学家。他们各自独立考察了普雷菲尔公理并做出了可能性证明。这些证明都在逻辑上自洽，互不矛盾。高斯最早发现在这种新几何中，三角形内角和居然小于180度，他认为这与欧几里德几何学相违背，为此他不敢发表自己的论文。波约伊于1823年11月23日发现后高兴地欢呼：我从虚无中创造了一个新世界。（Out of nothing， I have created a strange new universe.）但很快就被高斯的一番嘲讽压了下去。只有当罗巴切夫斯基在1826年2月23日在喀山大学宣读他的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》时，非欧几里德几何学才正式诞生。（注四）

 

　　从欧几里德几何学到非欧几里德几何学，虽然运用的都是逻辑演绎方法，但两者还是有本质差别的，前者还是在物理世界中，还是在经验和语言范畴之内。而后者则已经从物理世界中解放出来，运用想象的概念和严密的逻辑，创造了一个全新的世界。不像物理学的研究对象是实体世界，数学的研究对象就是数学本身--- 概念的提出提炼和提升，逻辑的演绎和扩展。正因为如此，几何学才能从平面几何走到立体几何，有多少几何学家就有多少种几何学。

 

　　欧几里德几何学运用的演绎逻辑不仅可以在自己的体系中不断发现，还可以创造出另外一个体系，另外一个世界。逻辑不仅是工具，它还是能量本身。不仅是一种世界观，还是为西方文明提供不断超越自我和他我的内生动力。

 

　　欧几里德几何学给西方文明的影响，不在它的体系和具体知识，而是她提供的方法，一种建立在不证自明的公理基础上，从公理中推出定理、再推出各种结论，从而保障知识的关联性和正确性。从人人明白的公理出发，而不是从人人不懂的信仰或教条出发，西方文明从欧几里德几何学那里获得的不仅是科学知识，更重要的是它的科学精神和科学方法。没有什么权威比人的常识更加可靠，也没有什么理论比逻辑更加值得尊重。 文明的成长依赖成长中的文明因素，而逻辑就是其中最重要的因素。在西方文明中，古希腊的哲学（其中包含了数学和天文学等自然科学），中世纪神学和17世纪开始的科学导致了现代文明的产生。按照英国哲学家罗素的观点，一切确切的知识，都属于科学；一切涉及超乎确切知识之外的教条都属于神学。而介乎神学与科学之间还有一片受到双方攻击的无人之域，就是哲学。从西方历史看，不管是哲学，神学和科学，它们所依赖的工具都是从不证自明的公理开始，运用严谨的逻辑，建立自己的知识和信仰系统。神学就建立在不证自明的上帝存在上，而像圣.奥古斯丁这样的神学家，几乎就是哲学家和逻辑学家。

 

　　黑格尔在他的《哲学史演讲录》中，在“哲学在希腊的开始”一节中说：“个体的精神认识到它自身的存在是有普遍性的，这种普遍性就是自己与自己相关联。自我的自在性，人格性和无限性构成精神的存在。….一个民族之所以存在即在于它自己知道自己是自由的，是有普遍性的；自由和普遍性就是一个民族整个伦理生活和其余生活的原则。”（注五）哲学之所以能在古希腊绽放朵朵奇葩，如同几何学在泰勒斯、毕达哥拉斯和欧几里德身上放出耀眼的光芒，正是因为那个时代的人们充满了追求自由和真理的自觉行动和自我意识 - 自决正是文明成长的关键因素，在这点上，欧几里德的演绎逻辑给我们的启发已经超出了逻辑本身。

 

　　注一：根据公元前三世纪第欧根尼.拉尔修的《名哲言行录》，古希腊早期一些天文和数学方面的发现和发明虽然都归在泰勒斯的名下，其实有可能应该属于毕达哥拉斯或其他同时代人。但利用太阳照射的影子来测量金字塔的高度无疑是泰勒斯所创造。见《名哲言行录》 （上），第18页， 吉林人民出版社，2003年第一版。

 

　　注二：阿诺德.汤因比《历史研究》第122页，上海人民出版社出版，2009年9月第1版。

 

　　注三：第欧根尼.拉尔修在他的《名哲言行录》中这么介绍欧几里德：“他拒绝使用类比进行辩论，宣称它必定要么取自相似者，要么取自不相似者。如果取自相似者的话，那么辩论应该处理的就是这些相似者，而不是它们的类比；如果取自不相似者的话，那么把这些不相似者放在一起就是没有道理的”。由此可见类比被逻辑学家的鄙视。

 

　　注四：参见纪志刚《数学的历史》（江苏人民出版社2009年10月第一版）105页到109页和约瑟夫.马祖尔《雨林中的欧几里德》（重庆出版社出版，2006年12月第一版），69页到73页。

 

　　注五：黑格尔《哲学史演讲录》第一卷，第118页，商务印书馆，1997年2月北京第9次印刷

 

　　（编辑：苏琦）